선형대수학 - 차원정리(dimension theorem). 정리와 증명

차원정리(dimension theorem)란 무엇인지 먼저 알아보자.

벡터공간 $V$, $W$와 선형변환 $T: V \rightarrow W$ 에 대하여 $V$가 유한차원이면 다음이 성립한다.

$\text{nullity}(T) + \text{rank}(T) = \dim(V)$ $( \dim(V) = \dim(N(T)) + \dim(R(T)) )$

이제 증명을 해보자.

pf.
$N(T)$의 기저를 하나 골라서, $\{v_1, v_2, ..., v_k\} (k \leq n)$ 이라고 두자.
벡터공간 $V$의 차원이 $n$이라고 하면, 기저는 반드시 $n$개의 벡터로 이루어져 있다.
$N(T)$의 기저에 적절히 몇 개의 벡터를 더 추가하여, $V$의 기저로 확장할 수 있으므로, $n-k$개의 벡터를 추가하여 $V$의 기저 $\beta$를 만들자.

$\Rightarrow \beta = \{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}, ..., v_n\}$
이 때 $v_1, v_2, ..., v_k$ 까지는 $N(T)$의 기저이다.

$N(T)$의 정의에 따라, $T(v_1) = ... = T(v_k) = 0$ 이 될 것이다.
따라서 상(image) $R(T)$는 $\langle T(v_1), ... , T(v_k), ... , T(v_n) \rangle = \langle T(v_{k+1}), ... , T(v_n) \rangle$ 이 된다.

이 때 $R(T) = \langle T(v_{k+1}), ... , T(v_n) \rangle$가 선형독립이라고 한다면,
$\langle T(v_{k+1}), ... , T(v_n) \rangle$는 $R(T)$를 생성하고, 기저가 될 것이다.
따라서 $\dim R(T) = n-k$ 가 될 것이다.

이제 $R(T) = \langle T(v_{k+1}), ... , T(v_n) \rangle$가 선형독립임을 확인하자.

pf '
set $c_{k+1}T(v_{k+1}) + ... + c_{n}T(v_n) = 0$
위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$T(\sum\limits_{i=k+1}^{n} c_{i}v_{i}) = 0$
$N(T) = \{x \in V: T(x) = 0\}$ 이므로, $\sum\limits_{i=k+1}^{n} c_{i}v_{i} \in N(T)$.

$\therefore \exists c_i \sum\limits_{i=1}^{k} -c_{i}v_i$ $(N(T)$의 원소이므로, 적절히 상수를 취하여 이렇게 바꿔 쓸 수 있는 것이다.)

$\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{k} c_{i}v_i = 0$.
이 때 모든 $c_i$들은 0이 된다. 따라서 선형독립이 됨을 확인했다.

이제 증명을 마무리 지어보자.
$R(T) = \langle T(v_{k+1}), ... , T(v_n) \rangle$가 선형 독립임을 알았으므로,
$\dim R(T) = n-k$가 되고, $\dim N(T) = k, \dim V = n$ 이므로,

증명 끝.