벡터를 활용한 직선의 방정식, 평면의 방정식

벡터의 합과 스칼라 곱을 활용하여 직선의 방정식, 평면의 방정식을 작성할 수 있습니다.

 

https://renaissance-tech.tistory.com/1

벡터(vector)

벡터의 합과 스칼라 곱에 대하여 알아보고 싶으시면 이 글 참고 바랍니다.

 

---

 

- 직선의 방정식

직선의 방정식

 

벡터는 위치에 무관하다고 (이전 글에서) 여러 번 강조했습니다. 때문에 원점 O를 시점으로 설정하여도 문제가 되지 않습니다.

 

시점을 원점으로 공유하는 두 벡터 u, v를 생각해보죠. 이 때, 평행사변형 법칙에 의하여 A와 B를 연결하는 벡터 w를 가정하였을 때 u+w = v 라고 할 수 있고, u를 우변으로 넘기면, w = v-u 가 되지요.

 

두 점 A와 B를 지나는 직선을 생각해 봅시다.

직선 위 임의의 점은 A를 시점으로 하는 벡터의 종점이고, 어떤 실수 t에 대하여 tw로 표현할 수 있을 겁니다.

따라서 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은 x = u + tw = u + t(v-u) 가 된다.

 

---

 

- 평면의 방정식

직선의 방정식에서의 논리를 그대로 한 차원 확장한 것 뿐입니다.

평면의 방정식

 

세 점 A,B,C를 포함하는 평면의 방정식은 x = A + su + tv로 나타낼 수 있습니다.

 

예를 들어볼까요,

세 점 A(1,2,3), B(-1,4,5), C(0,1,-1) 을 포함하는 평면의 방정식은 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

시점을 A로 두자. 벡터 u(= B-A)는 (-1,4,5) - (1,2,3) = (-2,2,2), 벡터 v(= C-A)는 (0,1,-1) - (1,2,3) = (-1,-1,-4) 가 될 것이고,

평면 위 임의의 점을 x라 할 때 평면의 방정식은 x = (1,2,3) + s(-2,2,2) + t(-1,-1,-4) 와 같이 표현될 것이다. ( x = (1,2,3) + s(-1,1,1) + t(1,1,4)로 써도 무방. s, t는 임의의 실수)