벡터(vector)

벡터(vector)란.

크기와 방향을 모두 가진 물리량이다.

 

벡터에 대립되는 개념으로 스칼라가 있죠. 스칼라는 방향을 가지지 않고 크기만 가지는 물리량입니다.

스칼라의 예를 들면, 질량이나 온도 등이 있겠습니다. (질량, 온도에 방향이란 없으니까요.)

 

반면 벡터는 방향까지 내포하는 물리량이기 때문에 화살표로 나타내곤 합니다.

이 때 화살표의 방향은 벡터의 방향을, 화살표의 크기는 벡터의 크기를 뜻합니다.

 

벡터는 위치와 무관하게, 크기와 방향이 같으면 동일한 벡터입니다. (쉽게 생각해서, 화살표의 크기와 방향이 같으면 그 화살표가 어디에 놓여있든 상관없이 같은 벡터라고 보는 것이지요. 이러한 아이디어를 활용하여 저희는 벡터의 시점(시작점)을 원점으로 설정하곤 합니다. 어디에 놓여있든 상관없으니 원점에서 화살표가 시작하도록 해도 무방하기 때문이죠.)

 

벡터(vector)

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합성벡터.

두 물리량이 함께 작용하여 나타나는 효과는 두 벡터를 결합시켜 얻은 합성벡터로 설명할 수 있습니다.

스칼라에서와 다르게 벡터를 논할 때는 크기뿐만 아니라 방향 역시 고려해야 하기 때문이죠.

합성벡터를 두 벡터의 합(sum)이라고 합니다. 흔히 두 벡터를 결합하는 규칙을 벡터 합의 평행사변형 법칙(parallelogram law)라고 부릅니다.

 

벡터x와 y의 합성벡터 x+y

 

위 그림에서 알 수 있듯,

시점이 P로 일치하는 두 벡터 x, y의 합은 점 P에서 시작하는 벡터이고, 이는 x와 y를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타납니다. 이를 '평행사변형 법칙'이라고 부릅니다.

 

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대수적으로 이해해 볼까요,

앞서 벡터는 위치에 무관하다고 말했죠. (따라서 벡터의 시점을 원점으로 설정해도 논리를 전개하는 데 있어 문제가 되지 않습니다.)

벡터 x와 y의 시점을 원점으로 두었을 때 각각의 종점을 (a1, a2), (b1, b2)라고 하면, x+y의 종점은 (a1+a2, b1+b2) 가 됩니다. 

 

지금까지 벡터의 합을 알아보았습니다.

벡터의 스칼라 곱(scalar multiplication)도 알아봅시다.

(여기서 말하는 스칼라는 '상수'라고 이해하고 넘어갑시다.)

 

벡터 x를 유향선분(방향을 가진 선분; 화살표)이라고 이해하면, 0이 아닌 실수 t에 대하여

벡터 tx의 방향은 t>0 일 때, 벡터 x의 방향과 같고, t<0 일 때는 벡터 x의 방향과 180도 반대가 된다.

벡터 tx의 크기는 유향선분 x의 크기(화살표의 길이)에 |t|를 곱한 값이 된다.

 

이렇게 벡터의 스칼라 곱을 정의할 수 있습니다.