벡터공간(vector space)의 정의

1. 벡터공간(vector space)이란,

체 F에서의 벡터공간 또는 선형공간(linear space) V는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 '집합'이다.

 

벡터의 합, 스칼라 곱은 아래 글 참조

https://renaissance-tech.tistory.com/1

벡터(vector)

 

벡터공간의 8가지 조건은 아래와 같습니다.

벡터공간의 8가지 조건

 

위 조건을 만족하는 집합은 벡터공간이 됩니다.

쉽게 생각해서, 벡터의 '집합'을 벡터공간이라고 이해해도 되겠습니다.

 

벡터공간을 정확하게 표기하려면 'F-벡터공간V'라고 표기해야 됩니다.

여기서 말하는 체 F는 대개 실수 집합 또는 복소수 집합을 말합니다만, 보통 표기할 때 'F-'를 생략하고 그냥 'V'라고 적곤 합니다.

 

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2. 아래와 같이 벡터공간을 정의할 수도 있습니다.

표기가 어려워 보일 수는 있지만, 굉장히 단순한 말입니다. 합과 스칼라 곱의 정의를 위(빨간 글씨)와 같이 하였을 때, 집합 S에서 체 F로 가는 모든 함수의 '집합'이 벡터공간이라는 것이지요.

 

해당 함수를 벡터라고 이해할 수 있고, 그 함수들 즉, 벡터를 원소로 가지는 '집합'이 벡터공간이 되는 것입니다.

1에서 처음 벡터공간을 정의할 때 8가지 조건을 모두 만족하는 '집합'이라고 말한 바 있죠. 2에서의 정의에서도 각 함수를 벡터라고 생각하였을 때, 빨간색 글씨와 같이 합과 스칼라 곱을 정의하기만 한다면 벡터공간의 8가지 조건을 모두 만족하게 됩니다. 

따라서 위와 같이 함수들의 집합으로 벡터공간을 정의할 수 있습니다.

 

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3. 이번에는 다항식을 생각해 봅시다.

다항식의 정의

 

다항식(polynomial)의 정의는 위 사진과 같습니다. 흔히 말하는 이차식, 삼차식, ... 을 다항식이라고 하죠.

 

두 다항식 f(x)와 g(x)를 위와 같이 생각해보죠. (계수를 0으로 하면 그만이니, 두 다항식의 차수를 동일하게 맞출 수 있을 것입니다.)

 

이 때 두 다항식의 합, 스칼라 곱을 아래와 같이 정의하면, F에서 계수를 가져온 모든 다항식의 '집합'은 벡터공간이 됩니다.

 

위 사진의 빨간 글씨대로 다항식의 합, 스칼라 곱을 정의하고, 모든 다항식의 '집합'을 P(F)라고 한다면, P(F)도 벡터공간이 되는 것이지요.

 

계속해서 벡터공간이 '집합'임을 강조하고 있습니다.

 

위 연산이 가능한 다항식들은 사실상 2에서 말한 함수이기에, 모든 다항식의 집합 역시 벡터공간이라고 볼 수 있는 것입니다.

'벡터', '함수', '다항식' 모두 본질적으로 유사한 개념이고 이들을 원소로 하는 '집합'이 벡터공간임을 이해할 수 있을 겁니다.

 

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4. 이번엔 수열의 관점에서 벡터공간을 바라봅시다.

 

 

체 F에서 수열을 위와 같이 정의하고, 두 수열의 합과 스칼라 곱을 빨간색 글씨처럼 정의한다면,

1,2,3에서 봤던 정의와 마찬가지로,

모든 수열의 '집합'을 벡터공간이라고 정의할 수 있습니다.

 

위에서 말한 '벡터', '함수', '다항식'에 '수열'도 추가할 수 있는 것이지요.

 

 

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위에서 정의한 4가지 벡터공간 모두 본질적으로 같습니다.