선형대수학 - 차원정리(dimension theorem). 정리와 증명

차원정리(dimension theorem)란 무엇인지 먼저 알아보자.

벡터공간 \( V \), \( W \)와 선형변환 \( T: V \rightarrow W \) 에 대하여 \( V \)가 유한차원이면 다음이 성립한다.

\( \text{nullity}(T) + \text{rank}(T) = \dim(V) \) \(( \dim(V) = \dim(N(T)) + \dim(R(T)) ) \)

이제 증명을 해보자.

pf.
\( N(T) \)의 기저를 하나 골라서, \( \{v_1, v_2, ..., v_k\} (k \leq n) \) 이라고 두자.
벡터공간 \( V \)의 차원이 \( n \)이라고 하면, 기저는 반드시 \( n \)개의 벡터로 이루어져 있다.
\( N(T) \)의 기저에 적절히 몇 개의 벡터를 더 추가하여, \( V \)의 기저로 확장할 수 있으므로, \( n-k \)개의 벡터를 추가하여 \( V \)의 기저 \( \beta \)를 만들자.

\( \Rightarrow \beta = \{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}, ..., v_n\} \)
이 때 \( v_1, v_2, ..., v_k \) 까지는 \( N(T) \)의 기저이다.

\( N(T) \)의 정의에 따라, \( T(v_1) = ... = T(v_k) = 0 \) 이 될 것이다.
따라서 상(image) \( R(T) \)는 \( \langle T(v_1), ... , T(v_k), ... , T(v_n) \rangle = \langle T(v_{k+1}), ... , T(v_n) \rangle \) 이 된다.

이 때 \( R(T) = \langle T(v_{k+1}), ... , T(v_n) \rangle \)가 선형독립이라고 한다면,
\( \langle T(v_{k+1}), ... , T(v_n) \rangle \)는 \( R(T) \)를 생성하고, 기저가 될 것이다.
따라서 \( \dim R(T) = n-k \) 가 될 것이다.

이제 \( R(T) = \langle T(v_{k+1}), ... , T(v_n) \rangle \)가 선형독립임을 확인하자.

pf '
set \( c_{k+1}T(v_{k+1}) + ... + c_{n}T(v_n) = 0 \)
위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\( T(\sum\limits_{i=k+1}^{n} c_{i}v_{i}) = 0 \)
\( N(T) = \{x \in V: T(x) = 0\} \) 이므로, \( \sum\limits_{i=k+1}^{n} c_{i}v_{i} \in N(T) \).

\( \therefore \exists c_i \sum\limits_{i=1}^{k} -c_{i}v_i \) \( (N(T) \)의 원소이므로, 적절히 상수를 취하여 이렇게 바꿔 쓸 수 있는 것이다.)

\( \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{k} c_{i}v_i = 0 \).
이 때 모든 \( c_i \)들은 0이 된다. 따라서 선형독립이 됨을 확인했다.

이제 증명을 마무리 지어보자.
\( R(T) = \langle T(v_{k+1}), ... , T(v_n) \rangle \)가 선형 독립임을 알았으므로,
\( \dim R(T) = n-k \)가 되고, \( \dim N(T) = k, \dim V = n \) 이므로,

증명 끝.